[3Blue1Brown] Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

 

벡터의 각 좌표를 스칼라라고 생각해보자.

각 좌표값을 스칼라로서 생각해보면, 각 좌표값이 벡터들을 어떻게 늘이고 줄일까를 보는 것이다.

 

 xy 좌표계에는 특수한 벡터 두 개가 있다. 

1. 오른쪽을 가리키는 길이 1의 벡터. 흔히 Î 이나 x-단위벡터라 부른다. 

2. 위쪽을 가리키는 길이 1의 벡터. 흔히 ĵ 이나 y-단위벡터라 부른다. 

 

 

이런 의미에서, 좌표쌍이 나타내는 벡터는 두 스케일된 벡터의 합이다. 벡터를 '스케일된 두 벡터의 합'으로 보는 것은 꽤나 중요한 개념이다. 두 벡터를 통틀어 xy 좌표계의 기저라 부른다. 기본적으로 기저가 의미하는 것은 이 좌표쌍을 스칼라로써 생각할 때, 그 스칼라들이 스케일하는 실제 대상들이 기저 벡터이다. 우리가 벡터를 수적으로 표현할 때, 암묵적으로 선택한 기저 벡터에 의존한다는 사실이다.

 

이처럼 두 벡터를 스케일하고 더하여 새 벡터를 얻는 모든 연산을, 두 벡터의 선형결합 이라고 부른다. 

 

 

이것을 선형 결합이라고 부르는 이유는, 실제 어원은 아니지만, 두 스칼라 중 하나는 고정해놓고 나머지 하나의 값을 자유롭게 놓는다면 결과 벡터의 머리가 한 직선을 그리게 될 것이기 때문이다. 

 

두 스칼라의 범위를 자유롭게 놓고 얻을 수 있는 모든 가능한 벡터를 고려해본다면 두가지 상황이 벌어진다. 

1. 대부분의 벡터 쌍의 경우, 평면 위 모든 점에 다다를 수 있다. 

2. 두 기저 벡터가 같은 직선상에 위치하는 경우, 결과 벡터의 끝점이 원점을 지나는 한 직선으로 제한된다. 두 벡터가 모두 영벡터인 경우, 원점에 갇힌다. 

 

 

주어진 벡터 쌍의 선형 결합으로 다다를 수 있는 모든 결과 벡터의 집합을 두 벡터의 생성(선형생성, spam)이라고 부른다. 

벡터 v와 w의 생성은 그것들의 모든 선형결합의 집합이다. 

 

 

대부분의 2차원 벡터 쌍의 생성은 2차원 공간의 벡터 전체가 된다. 하지만 일렬로 있다면, 끝점이 어떤 직선에 한정되는 모든 벡터가 그들의 생성이다. 두 벡터의 선형생성이란 근본적으로 이렇게 묻는 것과 같다. 

 

"벡터의 덧셈과 스칼라배, 이 두 기초 연산만 가지고 다다를 수 있는 모든 가능한 벡터들엔 무엇이 있는가?"

 

한 줄에 모여있는 벡터 전체를 생각한다면 상당히 복잡할 것이다. (좌표평면을 가득 메우는 모든 2차원 벡터를 한 번에 생각하는 것 또한)

그래서 이같은 벡터의 모음을 다룰 때는, 각자를 공간상 점으로 나타내는 것이 일반적이다. 점의 위치는 벡터의 끝점으로 놓고, 그 벡터의 시작점(tail)은 보통처럼 원점에 위치한다고 생각하는 것이다. 이렇게 하면, 한 직선에 나열된 모든 가능한 벡터를 단지 직선 그 자체로 생각할 수 있게 된다.(선은 점들의 집합이므로, 모든 결과 벡터의 집합이 직선으로 표현되는 것)

 

마찬가지로, 모든 가능한 2차원 벡터를 한 번에 생각할 때는 각자의 끝점이 위치하는 곳에 점으로써 개념화 된다. 결국 우리가 생각하게 될 것은 화살표(벡터)가 아닌, 무한하고 평평한 2차원 평면 그 자체라는 것이다. 일반적으로 벡터 자체는 화살표로 생각하고, 벡터 모음(집합)으로 다루는 경우 점으로 생각하는 것이 편리하다.

 

선형생성으로 예시를 들자면, 대부분의 벡터의 쌍은 결국 무한한 2차원 평면 전체를 생성한다. 하지만 둘이 일직선 위에 있다면, 그것은 단지 직선이다.