[3Blue1Brown] Vectors | Chapter 1, Essence of linear algebra

벡터를 바라보는 관점

 

1. 물리학자의 관점

벡터는 그 길이와 그것이 가리키는 방향으로써 정의된다. 두 요소가 같다면, 벡터를 아무 데로나 옮긴다 하더라도 여전히 같은 벡터로 취급한다. 평면에 존재하는 벡터는 2차원 벡터이고, 우리가 사는더 넓은 공간에 존재하는 벡터는 3차원 벡터이다.

 

2. 컴퓨터 과학자의 관점

숫자의 배열로 정의된다.(배열/리스트의 자료구조(data structure)) 예를 들어, 집값을 분석할 떄, 집의 면적과 가격만 고려한다고 치자. 그럼 각 집은 한 쌍의 숫자로 표현 될 것이다. 이제 그 집은 2차원 벡터로 표현된 것이다. 이 맥락에서는 벡터란 단지 배열을 멋드러지게 표햔한 것이며, 2차원이라는 말은 단지 숫자가 두 줄로 배열됐음을 의미한다. 

 

3. 수학자의 관점

위의 두 관점을 일반화하며 기본적으로 무엇이든 벡터가 될 수 있다고 정의된다. 두 벡터의 덧셈과 벡터의 상수배를 포함해, 다른 연산들이 성립할 수 있다면 뭐든 벡터라는 것이다.(추상적) 

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앞으로의 강의에 있어 벡터가 포함된 주제가 새로 등장할 때마다, xy평면 같은 좌표계에 있는 꼬리가 원점에 고정되어 있는 화살표를 떠올리자. 벡터가 공간상 아무데나 위치할 수 있다는 물리학자의 관점과는 살짝 다르지만, 선형대수학에서, 벡터가 원점에서 떨어지는 경우를 찾아 보기는 어렵다. 

 

 

이제 공간 위 화살표하는 개념이 이해됐다면, 벡터의 좌표를 고려해 볼 수 있을 것이다. 왜냐하면 선형대수학에서 중요한 모든 것들은 두 관점 사이를 오가는 데에서 맴도는 경향이 있기 때문이다. 

 

벡터의 방향은 유지한 채 그 길이를 늘이고 줄이고 뒤집는 등의 과정을 "Scaling"이라고 부른다. 

그리고 벡터를 스케일하는 숫자, 2나 1/3 같은 것들을 "Scalar"라고 한다. 사실 선형대수학 전체에서 숫자들의 주된 역할이 벡터를 스케일하는 것이라서, 스칼라를 흔히 "숫자"와 같은 의미로 사용하기도 한다. 그래서 숫자들의 배열로서의 벡터의 관점에서는 주어진 벡터의 상수배/스칼라배란 각 항에 그 스칼라를 곱하는 것을 의미한다. 

 

사실, 벡터를 공간상 화살표로 생각하는 방식이 좋은 수적 표현을 가능케 하긴 하지만 이렇게 생각하냐 마냐는 중요치 않다. 선형대수학의 용도는 저 관점을 다루는 것이 아니라, 어떤 대상 사이의 상호작용을 해석하는 능력을 다루는 것이기 때문이다. 

 

선형대수학은 데이터 분석가에게 많은 숫자의 배열을 시각적으로 개념화하기 좋은 방법을 제공한다. 

데이터 속 패턴을 설명하고, 어떤 연산들에 관한 보편적인 관점을 제공한다. 

 

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https://youtu.be/fNk_zzaMoSs?si=hd6fuxJliDDl6Zrn